Question

15．如图所示，⊙O是△ABC 的外接圆，AB是直径，∠ABC=30°，点E是OC的中点，连接AE并延长交⊙○于点D，连接OD，CD，BD．
（1）求证：△AEO≌△DEC；
（2）若AB=12，则四边形AODC的面积是18$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CDE=∠EAO=30°，即可解决问题．
（2）根据S_{平行四边形AODC}=2•S_△ACO即可解决．

解答 （1）证明：∵AB是直径，∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，∠CAO=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∵CE=EO，'
∴AE⊥CO，∠CAE=∠EAO=30°，
∵∠CDE=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠EAO，
在△CED和△OEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠AEO}\\{∠CDE=∠EAO}\\{EC=EO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△DEC．

（2）连接DO．
∵△AEO≌△DEC．∠CDE=∠EAO
∴CD=AO，CD∥AO，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴S_{平行四边形AODC}=2•S_△ACO=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=18$\sqrt{3}$．
故答案为18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外接圆、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，把求平行四边形的面积转化为求三角形的面积，属于中考常考题型．