Question

7．如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．
（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）若M为CD上一点，MN交PF于N．证明：∠PNM=∠NMF+∠NFM；（说明：不能运用三角形内角和定理）
（3）在（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP，试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；
（2）作NH∥DC，利用平行线的性质得出∠PNH=∠NFM，∠MNH=∠NMF，得出结论；
（3）由（1）（2）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，∠PNM=∠NMF+∠NFM；根据∠FMN=∠BEP，等量代换即可得证．

解答 解：（1）如图，

过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）∵作NH∥DC，
∴∠PNH=∠NFM，∠MNH=∠NMF，
∴∠PNM=∠PNH+∠MNH=∠NMF+∠NFM．
（3）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD，
∵∠PNM=∠NMF+∠NFM，
∴∠PMN=∠FMN+∠PFD，
则∠EPF=∠PMN．

点评 此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．