Question

18．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、E分别是AB、BC上的动点，且点D从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同时点E从点B开始，以1cm/s的速度沿BC向点C移动．运动t 秒（t≤2）后，能否在抛物线上找到一点P，使得四边形BEDP为平行四边形？如果能，请求出t值和点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得到点B、C的坐标，把它们代入抛物线解析式即可求得系数b、c的值；易求抛物线解析式；
（2）由平行四边形的性质得到BE=PD，且BE∥DP，由此得到关于t的方程，通过解方程来求t的值，根据t的值来求点P的坐标．

解答 解：（1）依题意得：B（2，2），C（0，2）．
把它们代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{2=-{2}^{2}+2b+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$．
所以，该抛物线的解析式为：y=-x²+2x+2；

（2）∵四边形BEDP为平行四边形，
∴BE=PD，且BE∥DP，
∴设E（2-t，2），则D（2，t），P（2+t，t）．
又∵点P在抛物线y=-x²+2x+2上，
∴t=-（2+t）²+2（2+t）+2，
解得：t₁=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$（负值，舍去）．
则2+t=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
故点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，还要注意“数形结合”的数学思想的应用．