Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，CE是直径，F是弧AB的中点，求证：
（1）AC•BC=CE•CD；
（2）CF平分∠ECD．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由弦CD⊥AB，CE是直径，得到∠CAE=∠BDC=90°，根据圆周角定理得到∠B=∠E，于是得到△ACE∽△BCD，即可得到结论；
（2）由F是弧AB的中点，得到∠ACF=∠BCF，由（1）知，△ACE∽△BCD，于是得到∠ACE=∠BCD，即可得到结果．

解答 证明：（1）连接AE，
∵弦CD⊥AB，CE是直径，
∴∠CAE=∠BDC=90°，
∵∠B=∠E，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CE}{BC}$，
∴AC•BC=CE•CD；

（2）∵F是弧AB的中点，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠ACF=∠BCF，
由（1）知，△ACE∽△BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠CEF=∠DCF，
∴CF平分∠ECD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．