Question

15．如图，A（-4，2），B（-1，1）在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，求这个最小值及点P的坐标．

Answer 1

分析 由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在x轴上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于x轴的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．

解答 解：作法：作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于点P．
则点P就是所要求作的点；

因为A（-4，2），B（-1，1），
所以A'（-4，-2），则可得：A'B=$\sqrt{（-1+4）^{2}+（1+2）^{2}}=3\sqrt{2}$，
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
把A'（-4，-2）和B（-1，1）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-4k+b}\\{1=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以解析式为：y=x+2，
把y=0代入解析式中得：x=-2，
所以点P的坐标为（-2，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．