Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为1或2．

Answer 1

分析 Rt△ABC中，根据特殊锐角三角函数值可求得AB=4$\sqrt{3}$，然后由翻折的性质可求得∠AEF=60°，从而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性质可知：BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最后在Rt△BED中利用特殊锐角三角函数值即可求得BD的长．当点F在BC的延长线上时，∠AEF=90°，然后依据角平分线的性质可得到ED=AE，然后再证明△BED∽△BAC，最后依据相似三角形的性质求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{6}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AB=4$\sqrt{3}$
∵∠B=30°，DE⊥BC，
∴∠BED=60°．
由翻折的性质可知：∠BED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°．
∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF=30°．
∴AE=2EF．
由翻折的性质可知：BE=EF，
∴AB=3BE．
∴EB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{BD}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BD=2．
如图所示：当点F在BC的延长线上时．

∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF=90°，
∴∠EFA=30°．
∴∠EFD=∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE=DE．
∵BC=6，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=4$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$
设DE=x，BE=4$\sqrt{3}$-x．
∵DE∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}=\frac{BE}{AB}$，$\frac{x}{2\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}-x}{4\sqrt{3}}$，解得：x=1．
故答案为：1或2．

点评 本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键．