Question

13．正方形ABCD，过B作直线l平行于AC，在l上找一点F，使AF=AC，则∠CAF的度数为（　　）

• A． 15°
• B． 30°
• C． 30°或60°
• D． 30°或150°

Answer 1

分析 如图，连接BD交AC于O，作F′H⊥AC于H．只要证明F′H=$\frac{1}{2}$AC，即可推出∠F′CA=30°，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD交AC于O，作F′H⊥AC于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OD，
∵BF∥AC，
∴BF⊥BD，
∴∠BOH=∠OBF′=∠OHF′=90°，
∴四边形OBF′H是矩形，
∴HF′=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AF′，
∴∠F′AC=30°，
∵AF=AF′=AC，
∴∠AFB=∠AF′F=∠F′AC=30°，
∴∠FAF′=120°，
∴∠FAC=120°+30°=150°，
故选D．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．