题目内容
8．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直线顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1交于点D、E，AC与A1B1交于点F．（1）求证：BD=B1F；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？并说明理由；
（3）根据图1直接判断命题“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的真假真命题（填真命题或假命题）；将图2中三角板ABC绕点C顺时针旋转至图3的位置，当AB∥CB1时，请直接写出A1D与CD的数量关系：A1D=CD
分析 （1）先判断出∠A1CB=∠ACB1，进而判断出△BCD≌△B1CF，即可得出结论；
（2）先判断出∠AFE=∠ACB1=60°，即可求出∠AEF=90°，即可得出结论；
（3）先判断出△ABB1是等边三角形即可得出结论；
先求出∠ACD=60°，进而判断出△ACD是直角三角形即可得出结论．
解答 解：（1）由题意知，BC=BC1，∠B=∠B1，∠ACB=∠A1CB1=90°，
由旋转知，∠A1CB=∠ACB1，
在△BCD和△B1CF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠{B}_{1}}\\{BC={B}_{1}C}\\{∠BCD=∠{B}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△B1CF，
∴BD=B1F；
（2）AB与A1B1垂直，
理由：∵旋转角为30°，
∴∠ACA1=30°，
∴∠B1CF=90°-30°=60°，
∵∠B1=60°，
∴∠B1FC=180°-∠B1-∠ACB1=60°，
∴∠AFE=60°，
∵∠A=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=90°，
∴AB⊥A1B1；
（3）由题意知，∠BAC=∠B1AC=30°，∠B=∠B1，
∴△ABA1是等边三角形，
∴BB1=AB，
∵BB1=BC+B1C=2BC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，
故答案为：真命题；
∵AB∥CB1，
∴∠ACB1=∠A=30°，
∴∠ACD=90°-30°=60°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半），
∵AC=A1C，
∴CD=$\frac{1}{2}$A1C，
∵A1D+CD=A1C，
∴A1D=CD，
故答案为：A1D=CD．
点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠A1CB=∠ACB1，解（2）的关键是求出∠AFE=60°，解（3）的关键是判断出△ABB1是等边三角形，是一道中等难度得中考常考题．
天天向上一本好卷系列答案| A． | 5 | B． | 6 | C． | $\sqrt{7}$ | D． | 5或$\sqrt{7}$ |
| A． | 累计购物不超过50元 | |
| B． | 累计购物超过50元而不超过100元 | |
| C． | 累计购物超过100元 | |
| D． | 累计购物不超过50元或刚好为150元 |
“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过60千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速了多少？| A． | 15° | B． | 30° | C． | 30°或60° | D． | 30°或150° |
如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，