Question

5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为AB中点，E为AC上一动点，BF∥C交ED延长线于点F，则四边形BCEF周长的最小值为（　　）

• A． 1+$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由△ADE≌△BDF，推出BF=AE，推出四边形BCEF的周长=BC+CE+EF+BF=BC+AC+EF，由题意易知BC=1，AC=$\sqrt{3}$，即可推出EF最小时，四边形BCEF的周长最小，当DE⊥AC时，EF的值最小．

解答 解：∵BF∥AC，
∴∠A=∠FBD，
在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FBD}\\{∠EDA=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF，
∴BF=AE，
∴四边形BCEF的周长=BC+CE+EF+BF=BC+AC+EF，
由题意易知BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴EF最小时，四边形BCEF的周长最小，当DE⊥AC时，EF的值最小，
∵BD=AD，DE∥CB，
∴CE=AE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴EF=2DE=1，
∴四边形BCEF周长的最小值为2+$\sqrt{3}$，

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、垂线段最短、时间最的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．