Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AC上一点，过P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD．（设AP=x）
（1）若点E落在边BC上，求AP的长；
（2）当AP为何值时，△EDB为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理和平行线的判定与性质解答；
（2）需要分类讨论：DE=EB、BD=DE和BE=BD三种情况．

解答 解：（1）由题意，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10
∵AP=DE=x，
∴AD=PE=$\frac{4}{5}$x，PD=$\frac{3}{5}$x，

点E落在边BC上，PE∥AB，
∴$\frac{CP}{AC}$=$\frac{PE}{AB}$，
∴$\frac{8-x}{8}$=$\frac{4x}{50}$，
∴x=$\frac{200}{41}$；

（2）∵△EDB为等腰三角形

①若DE=EB（如图）作EM⊥AB于M，则DM=$\frac{1}{2}$DB=PE=AD=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{4}{5}$x=$\frac{10}{3}$，
∴x=$\frac{25}{6}$，
∴AP=$\frac{25}{6}$．
②若BD=DE（如图）

x=10-$\frac{4}{5}$x，解之x=$\frac{50}{9}$，
∴AP=$\frac{50}{9}$．
③若BE=BD（如图）
∵DE∥AC，
∴DE⊥BC，
又∵BE=BD，
∴DN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$x
∵Rt△ADP∽Rt△DNB

∴$\frac{AP}{BD}$=$\frac{AD}{DN}$，即$\frac{x}{10-\frac{4}{5}x}$=$\frac{\frac{4}{5}x}{\frac{1}{2}x}$，
∴x=$\frac{400}{57}$，
∴AP=$\frac{400}{57}$，
综上，当AP=$\frac{25}{6}$、$\frac{50}{9}$、$\frac{400}{57}$时，△EDB为等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理以及等腰三角形的判定．解题时，注意“分类讨论”数学思想的应用．