Question

17．已知四边形ABCD，∠ABC=45°，∠C=∠D=90°，含30°角（∠P=30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长NM到点Q，使QM=PB．若BC=10，CD=3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当点P与B重合时，AM=AQ′=3$\sqrt{3}$-3，DM=DQ″=10-3$\sqrt{3}$，易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，由此即可解决问题．

解答 解：当点P与B重合时，AM=AQ′=3$\sqrt{3}$-3，DM=DQ″=10-3$\sqrt{3}$，
易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，
∵Q′M+MQ″=$\sqrt{2}$（3$\sqrt{3}$-3）+$\sqrt{2}$（10-3$\sqrt{3}$）=7$\sqrt{2}$
∴点Q的运动路径长=点P的运动路径长7$\sqrt{2}$，
故答案为7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．