Question

2．如图（a），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，现以AB所在直线为对称轴，△ABC经轴对称变换后的图形为△DEF．
（1）求四边形ACBF的面积；
（2）如图（b），若△ABC和△DEF从初始位置（如图（a）所示）在射线AB上沿AB方向同时开始平移，△ABC的运动速度是每秒2个单位，△DEF的运动速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒．
①当0＜t＜$\sqrt{5}$时，求线段AE的长度（用含t的代数式表示）；
②当△AEF是等腰三角形时，求t的值；
（3）在第（2）题的图形运动过程中，是否存在一点A、C、B、F组成的四边形为矩形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：△DEF是由△ABC翻折所得，所以四边形ACBF的面积就是两个△ABC的面积；
（2）①根据AE=DE+A′D-A′A代入可得结果；
②当0＜t＜$\sqrt{5}$时，分三种情况：任意两边相等时，找一等量关系列方程可得t的值，当t＞$\sqrt{5}$时，如图（d），因为∠AEF是钝角，所以△AEF是等腰三角形时只存在一种情况：根据EF=AE列方程可得结论；
（3）当四边形ACBF是矩形时，AF=BC=EF=1，由（2）得：此时t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）如图（a），由题意得：S_{四边形ACBF}=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$AC×BC=2×1=2；
（2）①由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设点A的起点为A′，则AE=DE+A′D-A′A=$\sqrt{5}$+t-2t=$\sqrt{5}$-t；
②当0＜t＜$\sqrt{5}$时，分三种情况：
i）AE=EF时，即$\sqrt{5}$-t=1，
t=$\sqrt{5}$-1；
ii）AE=AF时，
∴∠AFE=∠AEF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴$\sqrt{5}$-t=t，
t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
iii）AF=EF时，如图（c），过F作FG⊥AE于G，则AG=EG，
tan∠FEG=$\frac{FG}{EG}$=$\frac{DF}{EF}$=2，
设FG=2x，EG=x，
由勾股定理得：（2x）²+x²=1²，
x=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=2EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sqrt{5}$-t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
当t＞$\sqrt{5}$时，如图（d），AE=AA′-A′D-DE=2t-t-$\sqrt{5}$=t-$\sqrt{5}$，
当EF=AE时，△AEF是等腰三角形，
即t-$\sqrt{5}$=1，
t=$\sqrt{5}$+1；
综上所述，当△AEF是等腰三角形时，t的值是$\sqrt{5}$-1或$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$+1；
（3）存在，
如图1，当四边形ACBF是矩形时，
AF=BC=1，
∴AF=EF=1
由（2）得：此时t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
∴点A、C、B、F组成的四边形为矩形时，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、矩形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形定义等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题．