Question

6．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为（　　）

• A． 5 cm
• B． 10 cm
• C． 15 cm
• D． 7.5 cm

Answer 1

分析 首先证明△ABO≌△DCO，推出OA=OB，由∠AOD=90°，推出∠OAD=∠ODA=45°，由∠BAD=∠CDA=90°，推出∠BAO=∠CDO=45°，推出∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，推出AB=BO=OC=CD，设AB=CD=x，则BC=AD=2x，由题意x+x+2x+2x=30，解方程即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABD和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DCO，
∴OA=OB，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠BAO=∠CDO=45°，
∴∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，
∴AB=BO=OC=CD，
设AB=CD=x，则BC=AD=2x，
由题意x+x+2x+2x=30，
∴x=5，
∴AB=5，
故选A．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．