Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BC=2，cos∠ABC=

1

3

时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端的直线是圆的切线，连接OD，只要得出OD⊥AC即可得出；
（2）通过解直角三角形求得AB，然后证明△AOD∽△ABC，利用相似的性质得对应边的比值相等，即可求得⊙O的半径．

解答：（1）证明：如图，连结OD．
∴OD=OB．
∴∠1=∠2．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．       
∴OD∥BC．
∴∠ADO=∠C=90°．
∴OD⊥AC．
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线． 
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=

1

3

，
∴AB=

BC

cos∠ABC

=6．      
设⊙O的半径为r，则AO=6-r．
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC．
∴

OD

BC

=

AO

AB

．
∴

r

2

=

6-r

6

．
解得 r=

3

2

．
∴⊙O的半径为

3

2

．

点评：此题主要考查了切线的判定定理与相似三角形的判定和性质定理，此定理是初中阶段非常重要的定理，同学们应正确把握此定理．