Question

9．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长是4，PA=AC，求OM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由SSS证明△OPC≌△OPA，得出∠PCO=90°即可；
（2）证明△APC是等边三角形，求出∠BAC=30°，得出BC的长，再证明OM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90°．
∵PO过AC的中点M，OA=OC，
∴PO⊥AC，
∴PA=PC，
在△OPC和△OPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PA}&{\;}\\{OC=OA}&{\;}\\{PO=PO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△OPA（SSS），
∴∠PCO=∠PA0=90°，
即OC⊥PO，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半径长是4，
∴AB=8，
∵PA=AC，PA=PC，
∴PA=AC=PC，
∴∠PAC=60°，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵M是AC的中点，OA=OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=2．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．