Question

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，点D是$\widehat{AC}$的中点，E为BA延长线上一点，且∠DEB=∠CDB
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）若EO=10，BC=9，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出OD⊥AC，根据圆周角定理和∠DEB=∠CDB，得出∠DEB=∠CAB，进一步得到ED∥AC，根据平行线的性质求得OD⊥ED，即可证得直线ED是⊙O的切线；
（2）证得△ACB∽△EDO，根据相似三角形的性质即可求得．

解答 （1）证明：∵点D是$\widehat{AC}$的中点，
∴OD⊥AC，
∵∠DEB=∠CDB，∠CDB=∠CAB，
∴∠DEB=∠CAB，
∴ED∥AC，
∴OD⊥ED，
∴直线ED是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO，
∵∠DEB=∠CAB，
∴△ACB∽△EDO，
∴$\frac{AB}{EO}$=$\frac{BC}{OD}$，
∵AB=2OD，EO=10，BC=9，
∴$\frac{2OD}{10}$=$\frac{9}{OD}$，
解得OD=3$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，垂径定理进而圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．