Question

20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=∠B
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）求线段AE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（2）利用相似三角形的性质根据二次函数，利用二次函数的最值解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE．
（2）设AE=x，BD=y，则DC=6-y，EC=5-x
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{EC}$，
∴$\frac{5}{6-y}$=$\frac{y}{5-x}$，
∴x=$\frac{1}{5}$（y²-6y+25）=$\frac{1}{5}$（y-3）²+$\frac{16}{5}$，
∴y=3时，x最小值=$\frac{16}{5}$．
∴AE的最小值为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是构建二次函数求最值问题，系统了数形结合的思想，属于中考常考题型．