Question

2．已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=4，现有每个小正方形的边长为1的网格，将△ABC的点A和点B如图放置在格点上，点C在点B右侧沿着格线运动，使边BC落在格线上，且1＜BC＜4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△A₁B₁C₁，将△ABC向右平移五个格后得△A₂B₂C₂，边A₁C₁交边A₂B₂于点G，在点C运动过程中．
（Ⅰ）四边形A₁A₂B₁G的面积改变（填“改变”或者“不改变”）；
（Ⅱ）四边形A₁A₂B₁G的面积=$\frac{39}{8}$（如果改变，写出四边形面积的最小值；如果不改变，写出四边形面积）．

Answer 1

分析 根据题意，在整个图形的变化过程中，BC与四边形A₁A₂B₁G的面积是两个变量设BC=t（1＜t＜4），四边形A₁A₂B₁G的面积=s，设A₁ B₁ 与  A₂B₂相交于点O，
可证明△A₁ OG∽△A₁ B₁ C₁，得OA₂与OG的长即可判定四边形A₁A₂B₁G的面积．

解答 解：如下图所示：
设BC=t（1＜t＜4），四边形A₁A₂B₁G的面积=s，设 A₁ B₁  与A₂G相交于点O
∵△ABC绕着点C旋转90°与△A₁ B₁  C₁ 重合，△ABC向右平移5个格后与△A₂B₂C₂重合
∴A₁ B₁⊥B₁ C${\;}_{{\;}_{1}}$，A₁ B₁⊥OG，
∴A₁ B₁∥OG
∴△A₁ OG∽△A₁ B₁ C₁
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}O}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{OG}$
∴$\frac{OG}{t}=\frac{4-（5-t）}{4}$
∴OG=$\frac{{t}^{2}-t}{4}$
∴s=$\frac{1}{2}$  A₁ B₁•OA₂+$\frac{1}{2}$ A₁ B₁•OG
  又OA₂=4-t，A₁ B₁=4，
∴s=$\frac{1}{2}$×4（4-t+$\frac{{t}^{2}-t}{4}$）
          s=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+8（1＜t＜4）
∵s=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+8=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{39}{8}$（1＜t＜4）
∴S_min=$\frac{39}{8}$
即：当BC的长为$\frac{5}{2}$是，四边形A₁A₂B₁G的面积最小为$\frac{39}{8}$
 
                   

点评 本题考查了图形的旋转、平移的性质，解题的关键是分析求出图象在变换过程中变化的量BC与四边形A₁A₂B₁G的面积之间的关系．