题目内容
12．
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+mx+n$的图象经过点A（2，0）和点B（1，$\frac{3}{4}$），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t≤0）的变化规律为y1=$\frac{3}{4}$-2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．
①点P运动的过程中，$\frac{CD}{OP}$是否为定值，请说明理由；
②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=1-3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF=$\sqrt{3}$，求t的值．
分析 （1）把A、B代入解析式求出m、n即可解决问题．
（2）用t的代数式表示线段CD、OP，然后求出比值即可．
（3）根据弦心距、半径、弦长的一半之间的关系列出方程即可解决．
解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m+n=0}\\{-\frac{1}{4}+m+n=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$．
故二次函数解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+1．
（2）①$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，理由如下，
将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：$\frac{3}{4}$-2t═-$\frac{1}{4}$x2+1，x=$\sqrt{8t+1}$，
∴点P坐标（$\sqrt{8t+1}$，$\frac{3}{4}-2t$），
∴OP中点C的坐标（$\frac{\sqrt{8t+1}}{2}$，$\frac{3}{8}-t$），
∴CD=1-（$\frac{3}{8}-t$）=$\frac{5}{8}+t$，OP=$\sqrt{8t+1+（\frac{3}{4}-2t）^{2}}$=2t+$\frac{5}{4}$，
∴OP=2CD
∴$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$．
②∵圆心到直线l的距离d=|$\frac{3}{8}-t$-（1-3t）|=|2t-$\frac{5}{8}$|，半径r=$\frac{1}{2}$OP=t+$\frac{5}{8}$，EF=$\sqrt{3}$，
又∵（$\frac{EF}{2}$）2+d2=r2，
∴$\frac{3}{4}$+（2t-$\frac{5}{8}$）2=（t+$\frac{5}{8}$）2，
解得t=1或$\frac{1}{4}$，
∴t=1或$\frac{1}{4}$时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF=$\sqrt{3}$．
点评 本题考查待定系数法求二次函数的解析式、圆的有关知识，解题的关键是用t的代数式表示相应的线段，学会利用方程的思想去思考问题，属于中考压轴题．
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如图，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD∥AB．
如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧A O2B上的一动点（点C不与点A、B重合），连接AC并延长AC交O2点P，连接AB，BC，BP，无论点C怎样移动，（1）∠BAP （2）∠APB （3）∠ABC（4）∠ACB（5）∠PBC（6）∠PCB中，大小都不变的角是（2）（4）（5）（6）（填写序号）
如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，求证：DB2=DC2+DA2．
△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC，若∠BAC=60°，求∠B．
求各图中的阴影面积（单位：cm）