Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，求证：DB²=DC²+DA²．

Answer 1

分析 要证明DB²=DC²+DA²，想到勾股定理，由于BD，AD，DC不在同一个三角形中，连接AC，将△DAB绕点A旋转60°到△ACE的位置，连接ED，证明△CDE是直角三角形即可．

解答 证明：如图，连接AC，
∵AB=CB，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形．
∴BC=CA=AB．
将△DAB绕点A顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接ED，
∴DA=AE，BD=CE，∠DAE=∠CAE-∠CAD=∠BAD-∠CAD=∠BAC=60°，
∴△DAE为正三角形．
∴DE=AD，∠ADE=60°．
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CE²=CD²+DE²．
∴DB²=DC²+DA²．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够充分运用旋转的性质，把要证明的线段转换到一个三角形中，根据旋转的性质发现一个直角三角形，再根据勾股定理即可证明．