如图1.在矩形ABCD中.已知AB=4.BC=8.现将此矩形折叠.使得A与C重合.然后沿折痕EF裁开.得到两个直角梯形.将它们拼在一起.放置于平面直角坐标系内.如图2所示．(1)求图2中梯形EFNM各顶点的坐标．(2)动点P从点M出发.以每秒1个单位的速度.向点E运动,动点Q从点F出发.以每秒a个单位的速度.向点N出发．若点P.Q同时出发.当其中有一点到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=8，现将此矩形折叠，使得A与C重合，然后沿折痕EF裁开，得到两个直角梯形，将它们拼在一起，放置于平面直角坐标系内，如图2所示．
（1）求图2中梯形EFNM各顶点的坐标．
（2）动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度，向点E运动；动点Q从点F出发，以每秒a个单位的速度，向点N出发．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
①若a=2，问：是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分？若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在这样的a，使得运动过程中，存在这样的t，使得以P、E、Q、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）设DE=x，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得x，再得AE、CF的长，即可得梯形EFNM各顶点的坐标；
（2）①先求的S_梯形EFNM=S_矩形ABCD=32，直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分，分S_{四边形EFQP}：S_{四边形PQNM}=1：2和S_{四边形EFQP}：S_{四边形PQNM}=2：1，两种情况讨论；
②第一种情形：若EPQO为菱形，易得EO=5，由于ON=5，若Q运动到N，则OQ=5，只要满足EP=5，则可证四边形EPQO为菱形；第二种情形：若EQOP为菱形，在Rt△OPD中，由勾股定理得t=

，再求得a的值．

解答：解：（1）设DE=x，则CE=AE=8-x，
∵在Rt△CDE中利用勾股定理可求得：4²+x²=（8-x）²，
x=3，8-3=5，
∴E（-3，4），M（3，4），F（-5，0），N（5，0）；
（2）①∵当a=2时，MP=t，QN=10-2t，S_梯形EFNM=S_矩形ABCD=32，
若S_{四边形EFQP}：S_{四边形PQNM}=1：2，

(6-t+2t)×4

：

(t+10-2t)×4

=1：2
可得t=-

（舍去）
若S_{四边形EFQP}：S_{四边形PQNM}=2：1，

(6-t+2t)×4

：

(t+10-2t)

=2：1
可得t=

．
∴若a=2，则当t=

时，直线PQ将梯形EFNM的面积分成1：2两部分．
②第一种情形：若EPQO为菱形，不难求得EO=5，由于ON=5，
若Q运动到N，则OQ=5．
又∵EP∥OQ，只要满足EP=5，则可证四边形EPQO为菱形．
由EP=6-t=5，可得t=1，此时，可求得a=10．
第二种情形：若EQOP为菱形，则DP=3-t，OP=EP=6-t．
在Rt△OPD中，由勾股定理得t=

．
由QO=EP=6-

，可得FQ=5-QO=

，
∴这种情形下，a=

．
∴存在符合条件的a=10或a=

，使得以P、E、Q、O为顶点的四边形为菱形．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，用到折叠的性质，勾股定理，以及菱形的判定，难度较大．