Question

3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠AEF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤△CEF为等腰直角三角形，其中正确的有①③⑤（填序号）．

Answer 1

分析 通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AF，∠B=∠D，=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，故①正确，
∵BC=DC，
∴CE=CF，
∴⑤△CEF为等腰直角三角形，
由于AE=AF，CW=CF，
∴AC垂直平分EF，故③⑤正确，
∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，故②错误，
设EC=x，由勾股定理，得
EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{6}x+\sqrt{2}x}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$-x=$\frac{\sqrt{3}x-x}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x，故④错误，
故答案为：①③⑤．

点评 本题主要考查了全等三角形的判断和性质，等边三角形和正方形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，证得Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键．