Question

18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点连接CE，连接DE交AC于F．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD=6，AB=8，求$\frac{AF}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB得∠DAC=∠CAB，加上∠ADC=∠ACB=90°可迅速得出结论；
（2）由于E为AB中点，从而CE=AE，∠EAC=∠ECA，由（1）知∠DAC=∠CAB，得∠DAC=∠ECA，CE∥AD，△AFD∽△CFE，从而$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，而AD已知，CE为AB的一半，答案显然．

解答 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵E为AB中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE=$\frac{1}{2}×8=4$，
∵AD=6，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，属于基础题．熟练掌握中位线定理与相似三角形的判定与性质是解答的关键．