Question

1．直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC
（1）求点C的坐标；
（2）是否存在点M（m，2）使得△ABM的面积等于△ABC的面积，如存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由
（3）若点D（4，0）在直线AB上，是否存在点P，使得△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数的关系式我们可求出A，B两点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，0），（0，4），OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，因此∠OAB=30°，因为三角形CAB是个等边三角形，因此∠CAB=60°，那么CA⊥OA，C点的横坐标就是A点的横坐标，如果求出CA的长那么就能求出C点的坐标了，根据AC=AB，有OA、OB的长，根据勾股定理我们可求出AB的长，也就求出AC的长，那么C点的坐标就求出来了．
（2）根据S_△ABC=S_△ABM，两三角形同底，也应该等高，因此M必在与AB平行的直线上，因此这条直线的斜率与已知的函数的斜率相同，可用C点坐标先确定MC所在直线的函数关系式，然后将M的坐标代入其中求出M的坐标．
（3）可分三种情况进行讨论即可求得．

解答 解：（1）根据直线的函数关系式，我们可得出A点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，0），B点的坐标为（0，4），
那么OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，直角三角形ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=8，∠BAO=30°，
根据三角形ABC是个等边三角形，因此∠CAB=60°．∠CAO=∠CAB+∠BAO=90°，
因此C点的横坐标应该和A点相同，
∵CA=AB=BC，
∴AC=AB=8，
那么C点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，8）．

（2）由题意可知，M必在与AB平行的直线上，
当M、C在直线AB同侧时，设这条直线为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
将C点的坐标代入这条直线中得：-4+b=8，b=12，
因此这条直线的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+12
当M、C在直线AB的异侧时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4，
把y=2代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+12得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+12=2，m=-10$\sqrt{3}$，
把y=2代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-4=2，m=6$\sqrt{3}$，
因此M点的坐标为（-10$\sqrt{3}$，2）或（6$\sqrt{3}$，2），

（3）分三种情况：

①以P为顶点，AP、DP为腰，图1，过P作PM⊥AD，PD就是线段AD的垂直平分线，AM=DM=2+2$\sqrt{3}$，
OM=DM-OD=2+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$-2，那么P的横坐标就是2-2$\sqrt{3}$，代入函数式中即可求出P的坐标为（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2），
此时P点的坐标是（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）；
②以A为顶点，AP，AD为腰，如图2，过P₁作P₁E⊥x轴于E，由（1）知，∠BAO=30°，AP₁=AD=4+4$\sqrt{3}$，
在直角三角形AP₁E中，P₁E=$\frac{1}{2}$AP₁=2+2$\sqrt{3}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP₁=2$\sqrt{3}$+6，
∴P₁（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2），
同理：P₂（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）
此时P点的坐标是（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2）或（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）；
③以D为顶点，AD，DP为腰，如图3，
同理证得PG=2$\sqrt{3}$+6，DG=2+2$\sqrt{3}$，
∴P点的坐标是（2$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$+6），
因此存在这样的点P，且P的坐标为（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）或（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2）或（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）或（2$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$+6）．

点评 本题综合考查了一次函数和直角三角形的应用，本题中利用直角三角形来求线段的长，从而得出点的坐标是解题的基本思路．要注意第三问中要把所有的情况都考虑到，不要遗漏任何一种情况．