Question

5．如图1，AB为⊙O的直径，TA为⊙O的切线，BT交⊙O于点D，TO交⊙O于点C、E．
（1）若BD=TD，求证：AB=AT；
（2）在（1）的条件下，求tan∠BDE的值；
（3）如图2，若$\frac{BD}{TD}$=$\frac{4}{3}$，且⊙O的半径r=$\sqrt{7}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）连接AD，如图1，根据圆周角定理可得AD⊥BD，然后运用线段垂直平分线的性质就可解决问题；
（2）过E作EH⊥AB，交AB于H，连接AE，如图1，设OH=x，易证△OAT∽△OHE，然后运用相似三角形的性质可求出HE，然后运用勾股定理求出OE，即可得到AH，然后把∠BDE转化为∠BAE，就可解决问题；
（3）连接AD，AC，如图2，设BD=4m，则DT=3m，然后运用相似三角形的性质和勾股定理可求出AD、AB、TA（用m表示），然后运用三角函数可求出∠OTA的度数，然后只需求出△OEA及扇形OAC的面积就可解决问题．

解答 解：（1）连接AD，如图1．
∵AB是直径，∴AD⊥BD．
又∵BD=TD，∴AD垂直平分BT，
∴AB=AT；

（2）过E作EH⊥AB，交AB于H，连接AE，如图1，
∵TA为⊙O的切线，
∴OA⊥AT，
∴HE∥AT．
∴△OAT∽△OHE．
∴$\frac{OA}{TA}$=$\frac{OH}{HE}$=$\frac{1}{2}$．
设OH=x，则HE=2x，OE=$\sqrt{5}$x，AH=（$\sqrt{5}$+1）x，
∴tan∠BAE=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵∠BDE=∠BAE，
∴tan∠BDE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；

（3）连接AD，AC，如图2．
设BD=4m，由$\frac{BD}{TD}$=$\frac{4}{3}$可得DT=3m．
∵AD⊥BT，BA⊥AT，
∴∠BDA=∠ADT=90°，∠BAD=∠DTA=90°-∠DAT，
∴△BDA∽△ADT，
∴$\frac{DA}{DT}$=$\frac{DB}{DA}$，
∴AD²=DB•DT=12m²，
∴AD=2$\sqrt{3}$m．
同理可得：AB=2$\sqrt{7}$m，TA=$\sqrt{21}$m，
∴OA=$\sqrt{7}$m，
∴tan∠OTA=$\frac{OA}{TA}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OTA=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠CEA=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴CA=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{7}$，
∴AE=$\sqrt{21}$．
∴S_△CEA=$\frac{1}{2}$AC•AE=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∵S_扇形OAC=$\frac{60π•（\sqrt{7}）^{2}}{360}$=$\frac{7π}{6}$，S_△OEA=$\frac{1}{2}$S_△CEA=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴S_阴影=$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{7π}{6}$+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、扇形的面积公式等知识，把∠BDE转化为∠BAE是解决第（2）小题的关键，求出∠OTA的度数是解决第（3）小题的关键．