Question

16．实践操作题
如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（3a+b）（2a+2b），在下面虚框③中画出图形，并根据图形回答（3a+b）（2a+2b）=6a²+8ab+2b²；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a²+5ab+6b²．根据你所拼成的长方形可知，多项式a²+5ab+6b²可以分解因式为（a+2b）（a+3b）；
（3）若现在有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，则拼成的正方形边长最长可以是a+3b；
（4）若取其中的六张B类卡片拼成一个如图  ④所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积，你能得到什么等式？并用乘法法则说明这个等式成立．

Answer 1

分析 （1）画出图形，结合图形和面积公式得出即可；
（2）根据图形和面积公式得出即可；
（3）由完全平方公式可得三种纸片拼出一个正方形，可以让正方形的边长分别为a+b，a+2b，a+3b，由此即可确定拼出的正方形的边长最长是多少；
（4）用两种方法求出阴影部分的面积，即整个矩形面积减去6个B类卡片和阴影部分矩形的面积列式即可．

解答 解：（1）如图：

（3a+b）（2a+2b）=6a²+8ab+2b²；
（2）a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b）；
（3）∵有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，
∴由完全平方公式可得每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以让正方形的边长分别为a+b，a+2b，a+3b，
所以拼出的正方形的边长最长可以为a+3b；
（4）整个矩形面积为：（a+2b）（a+b），6个B类卡片的面积为：6ab，
阴影部分矩形的面积为：（2b-a）（b-a），
（a+2b）（a+b）-6ab=a²+2b²-3ab，
（2b-a）（b-a）=a²+2b²-3ab，
∴（a+2b）（a+b）-6ab=（2b-a）（b-a），
故答案为：6a²+8ab+2b²；（a+2b）（a+3b）；a+3b．

点评 本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．