Question

1．（1）请在图①中作出两条线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

分析 （1）画出互相垂直的两直径即可；
（2）当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP求出BP=EP，连接CP，求出S_△BPC=S_△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP，即可得出S_{四边形ABQP}=S_{四边形CDPQ}即可．

解答 解：（1）如图1所示，


（2）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
理由是：如图2，连接BP并延长交CD的延长线于点E，

∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
在△ABP和△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDP}\\{AP=DP}\\{∠APB=∠DPE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四边形ABQP}=S_{四边形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．

点评 本题考查了应用作图与设计、三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面积相等．