题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=4$\sqrt{5}$，∠BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出两根即可得到点A，C的坐标；
（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC=45°可知AE=BE，设BE=x，用勾股定理可得CE=$\sqrt{80-{x}^{2}}$，根据AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值；
（3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标．
解答 解：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6，
∴OA=OC=6，
∴A（-6，0），C（6，0）；
（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
设BE=x，
∵BC=4$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{80-{x}^{2}}$，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+$\sqrt{80-{x}^{2}}$=12，
整理得：x2-12x+32=0，
解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8
∴BE=8，OE=8-6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=16．
（3）存在．
如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则$\frac{OA}{DP}=\frac{OP}{DB}$，
即$\frac{6}{8-OP}=\frac{OP}{2}$
解得：OP=2或OP=6
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则$\frac{PD}{PO}=\frac{DB}{OA}$，
即$\frac{OP-8}{OP}=\frac{2}{6}$，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；
如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则$\frac{PD}{OA}=\frac{DB}{OP}$，
即$\frac{OP-8}{6}=\frac{2}{OP}$，
解得：OP=4+2$\sqrt{7}$或OP=4-2$\sqrt{7}$（不合题意舍去），
∴P（0，4+2$\sqrt{7}$）；
如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则$\frac{PD}{OA}=\frac{DB}{OP}$，即$\frac{OP+8}{6}=\frac{2}{OP}$，解得：OP=-4+2$\sqrt{7}$或-4-2$\sqrt{7}$（不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2$\sqrt{7}$）
∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2$\sqrt{7}$）或（0，4-2$\sqrt{7}$）．
点评 本题主要考查了一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想方法的综合运用，第3小题是难点，通过相似三角形的性质分类讨论列出比例式是解决问题的关键．
如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF．求证：CE=CF．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC，BD=BC，若AD=$\sqrt{2}$，则梯形的面积是$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$．
如图，已知一次函数y=$\frac{3}{2}$x-3与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
如图，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．