Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．

解答 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CM=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．