Question

如图，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x²+bx+c，求出抛物线C₁的解析式，即可求出抛物线C₁的顶点坐标，
（2）先求出C₂的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C₂的解析式．
（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，
利用勾股定理求出OB

3

OC，列出方程求出m的值即可．

解答：解：（1）∵抛物线C₁经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），
∴

c=0 4+2b+c=0

，解得

b=-2 c=0

，
∴抛物线C₁的解析式为y=x²-2x，
∴抛物线C₁的顶点坐标（1，-1），
（2）如图1，

∵抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，
∴C₂的解析式为y=（x-m-1）²-1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m²+2m），
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE，
∵∠DEA=90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，
由OC=EH得m²+2m=m+2，解得m₁=1，m₂=-2（舍去），
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x-2）²-1．
（3）如图2，连接BC，BP，

由抛物线对称性可知AP=BP，
∵△PAC为等边三角形，
∴AP=BP=CP，∠APC=60°，
∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠CBO=

1

2

∠CPA=30°，
∴BC=2OC，
∴由勾股定理得OB=

BC2-OC2

=

3

OC，
∴

3

（m²+2m）=m+2，
解得m₁=

3

3

，m₂=-2（舍去），
∴m=

3

3

．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．