Question

如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的顶点A、C的坐标分别为A （2，0）、C （-1，2），反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点B．
（1）求k的值．
（2）将?ABCO沿x轴翻折，点C落在点C′处．判断点C′是否落在反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象上，请通过计算说明理由．
（3）在y轴上找出一点M，当线段AM与线段CM之差达到最大时，求符合条件的点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,线段的性质：两点之间线段最短,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,关于x轴、y轴对称的点的坐标

专题：综合题

分析：（1）设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，如图1，易证△CFO≌△AEB，从而可得到点B的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）根据条件可得到点C′坐标，然后代入反比例函数的解析式进行验证，就可解决问题；
（3）易得MC=MB，从而将MA-MC转化为MA-MB，根据两点之间线段最短可得：当M、B、A三点共线时，MA-MB（即MA-MC）最大，然后只需用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出直线AB与y轴的交点M的坐标．

解答：解：（1）设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，如图1．
∵?ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（-1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，

∠C=∠EAB ∠CFO=∠AEB OC=BA

，
∴△CFO≌△AEB，
∴CF=AE=1，OF=BE=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴点B的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点B，
∴k=1×2=2，
即k的值为2；

（2）点C′在反比例函数y=

2

x

的图象上．
理由：∵点C与点C′关于x轴对称，点C的坐标为（-1，2），
∴点C′的坐标为（-1，-2）．
∵当x=-1时，y=

2

x

=

2

-1

=-2，
∴点C′（-1，-2）在反比例函数y=

2

x

的图象上；

（3）∵点C（-1，2），点B（1，2），
∴点C与点B关于y轴对称，
∴MC=MB，
∴MA-MC=MA-MB．
根据两点之间线段最短可得：MA≤MB+AB，即MA-MB≤AB，
当M、B、A三点共线时，MA-MB（即MA-MC）最大，如图2．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有

k+b=2 2k+b=0

，
解得：

k=-2 b=4

，
∴y=-2x+4．
当x=0时，y=4，
∴点M的坐标为（0，4）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、关于x轴（或y轴）对称的点的坐标、两点之间线段最短等知识，把MA-MC转化为MA-MB并利用两点之间线段最短是解决本题的关键．