Question

5．在四边形ABCD中，延长CD至E，使得CE=BD，连接AE，∠ABD的角平分线与AE相交于点F．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接AC交BF于G，求证：AF=FG；
（2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，判断线段AF与EF的数量关系，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）在等腰三角形ACE中，求得∠EAC=67.5°，根据∠AGF=∠ABG+∠BAG，求得∠AGF=67.5°，进而根据等角对等边，得出结论；
（2）延长BF、CE交于点G，根据∠ABF=∠DBG，∠AFB=∠EFG，AB=EG，判定△ABF≌EGF（AAS），进而得出全等三角形对应边相等．

解答 解：（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，AC=BD，∠ACD=45°，
∵CE=BD，
∴AC=EC，
∴等腰三角形ACE中，∠EAC=（180°-45°）÷2=67.5°，
∵BG平分∠ABD，∠ABD=∠BAC=45°，
∴∠ABG=22.5°，
∴∠AGF=∠ABG+∠BAG=45°+22.5°=67.5°，
∴∠EAC=∠AGF，
∴AF=FG；

（2）线段AF与EF相等．
如图2，延长BF、CE交于点G，
当四边形ABCD为平行四边形时，AB∥CD，
∴∠ABF=∠G，
∵BG平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBG，
∴∠G=∠DBG，
∴BD=GD，
又∵CE=BD，
∴CE=GD，
∴CD=GE，
又∵平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AB=EG，
由∠ABF=∠DBG，∠AFB=∠EFG，AB=EG，可得△ABF≌EGF（AAS），
∴AF=EF．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用等腰三角形的判定方法，以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．