Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若OA=$\sqrt{3}$，CE=1，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据直角三角形的性质得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代换得到∠DEO=90°，于是得到结论；
（2）根据射影定理得到AB²=BE•BC，求得BE=3，（负值舍去），得到BC=4，根据三角函数的定义即刻得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA=90°，
∴∠DEO=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠CAB=90°，AE⊥BC，
∴AB²=BE•BC，
即（2$\sqrt{3}$）²=BE（BE+1），
∴BE=3，（负值舍去），
∴BC=4，
∵sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB=60°．

点评 本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，射影定理，特殊角的三角函数，正确的识别图形是解题的关键．