Question

18．如图1，半圆O的半径r=5cm，点N是半径AO上的一个动点，N从点A出发，沿AO方向以1cm/s的速度向点O运动，过点N作MN⊥AB，交半圆O于点M，设运动时间为ts．
（1）当t等于多少时，MN=3cm？
（2）如图2，以MN为边在半圆O内部作正方形MNPQ，使得点P落在AB上，点Q落在半圆内（或半圆上），设正方形MNPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OM，由题意得AN=t、ON=5-t，由勾股定理知MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（5-t）^{2}}$=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，根据MN=3可得关于t的方程，解之可得；
（2）由S=MN²可得函数解析式，如图2，连接OM、OQ，证Rt△OMN≌Rt△OQP得ON=OP=$\frac{1}{2}$NP=$\frac{1}{2}$MN，即2ON=MN，从而得出关于t的方程，解之可得t的最大值，即可确定t的取值范围．

解答 解：（1）如图1，连接OM，

由题意知AN=t，
则ON=5-t，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（5-t）^{2}}$=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
当MN=3时，得$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$=3，
解得：t=1或t=9，
又t≤5，
∴t=1，
答：当t等于1时，MN=3cm；

（2）由（1）知，MN=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
∴S=MN²=-t²+10t，
如图2，连接OM、OQ，

则OM=OQ，
在Rt△OMN和Rt△OQP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{MN=QP}\\{OM=OQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMN≌Rt△OQP，
∴ON=OP=$\frac{1}{2}$NP=$\frac{1}{2}$MN，即2ON=MN，
∴2（5-t）=$\sqrt{-{t}^{2}+10t}$，
解得：x=5+$\sqrt{5}$＞5（舍）或x=5-$\sqrt{5}$，
又∵x≥0，
∴0≤x≤5-$\sqrt{5}$，
故S=-t²+10t，（0≤x≤5-$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查二次函数的应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．