Question

13．用12m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，试通过计算说明哪种场地的面积最大？

Answer 1

分析 分别求出各个正多边形和圆的面积，再比较不同图形面积的大小即可．

解答 解：围成圆形场地面积较大．理由如下：
∵正三角形的周长为12m，则边长为4m，
∴正三角形的面积=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$（m²）
∵正方形的边长为12m，则边长为3m，
∴正方形的面积=13×3=9（m²）；
∵正六边形的周长为12m，则边长AB=12÷6=2（m），
过O作OC⊥AB，如图所示：
∵AB=BO=AO=2，
∴CO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴正六边形面积为=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$（m²）；
∵2πr=12，∴r=$\frac{6}{π}$，
∴S=πr²=π×$\frac{{6}^{2}}{{π}^{2}}$=$\frac{36}{π}$（m²）；
∵4$\sqrt{3}$＜9＜6$\sqrt{3}$＜$\frac{36}{π}$，
∴围成圆形场地面积较大．

点评 此题主要考查了正多边形和圆的性质；熟练掌握正多边形和圆的面积的计算方法是解决问题的关键．