Question

3．（1）如图①，如果∠B+∠E+∠D=360°，那么AB、CD有怎样的关系，为什么？
（2）如图②，当∠1、∠2、∠3满条件∠1+∠3=∠2时，有AB∥CD，为什么？
（3）如图③，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D=540°时，有AB∥CD，为什么？

Answer 1

分析 （1）过点E作EF∥AB．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件∠B+∠E+∠D=360°求得∠FED+∠EDC=180°；然后根据平行线的传递性证得AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB．由两直线平行，内错角相等求得∠1=∠BEF；再用已知条件∠1+∠3=∠2，∠2=∠BEF+∠DEF推知内错角∠3=∠DEF，所以EF∥CD；最后根据平行线的传递性得出结论；
（3）过点E、F分别作GE∥HF∥CD．根据同旁内角互补以及已知条件求得同旁内角∠ABE+∠BEG=180°，所以AB∥GE；最后根据平行线的传递性来证得AB∥CD．

解答 解：（1）过点E作EF∥AB，如图①，

则∠ABE+∠BEF=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，（已知 ）
所以∠FED+∠EDC=180°，（等式的性质）
所以 FE∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD  （或平行线的传递性 ）．

（2）如图②，当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3=∠2时，有AB∥CD．
理由：

过点E作EF∥AB．
∴∠1=∠BEF；
∵∠1+∠3=∠2，∠2=∠BEF+∠DEF，
∴∠3=∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD（平行线的传递性）；


（3）如图③，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D=540°时，有AB∥CD．
理由：

过点E、F分别作GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH=180°，∠HFD+∠CDF=180°，
∴∠GEF+∠EFD+∠FDC=360°；
又∵∠B+∠E+∠F+∠D=540°，
∴∠ABE+∠BEG=180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案是：（2）∠1+∠3=∠2；
（3）∠B+∠E+∠F+∠D=540°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．