Question

14．如图，在?ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，又M、N分别是DC、AB的中点，求证：四边形EMFN是平行四边形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质可知“AB∥CE，AD∥BC，AB=CD，AD=BC”，由平行线的性质可得出“∠DAF=∠BCE，∠MCF=∠NAE”，根据全等三角形的判定定理即可得出△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得出AF=CE，再根据边角关系可判定△ANE≌△CMF，由此找出∠MFC=∠NEA，即得出FM∥EN；再由直角三角形的中线等于斜边的一半可得出FM=EN，满足“一组对边平行且相等”，由此证出四边形EMFN是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE，∠MCF=∠NAE．
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠DFA=∠BEC=∠DFC=∠BEA=90°．
在△ADF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCE}\\{∠DFA=∠BEC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE，
∴AE=AF+EF=CE+EF=CE．
∵M、N分别是DC、AB的中点，
∴AN=CM，
在△ANE和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CM}\\{∠MCF=∠NAE}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴∠MFC=∠NEA，
∴FM∥EN．
∵∠DFC=∠BEA=90°，M、N分别是DC、AB的中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$AB，
∴FM=EN，
∴四边形EMFN是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质、直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大，在解决该题中，为了寻找一组相等的内错角借助了两次证明三角形全等稍显周折，在解决该题型题目时，根据全等三角形的性质去寻找相等的角去证平行是关键．