Question

18．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点H．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠HBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：EC=EH；
（3）如图3，在（2）条件下，若CH=DH，AH=$2\sqrt{17}$，tan∠D=$\frac{4}{3}$，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）依据圆内接四边形的性质可知∠D=∠EBC，然后依据同角的余角相等可证明∠D=∠HBE；
（2）先依据同角的余角相等可证明∠D=∠HBE，然后依据ASA可证明△BCE≌△BHE（ASA），由全等三角形的性质可证明EC=EH；
（3）设AE=4k，可求得EH=k，然后在△AEH中由勾股定理可求得k=2，再依据相交弦定理可求得AB的长，然后在△ABF中，依据锐角三角函数的定义可求得BF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=∠EBC．
∵HF⊥AD，AE⊥DH，
∴∠H+∠D=90°，∠H+∠HBE=90°．
∴∠HBE=∠D．
∴∠HBE=∠EBC，即BE平分∠HBC．
（2）证明：如图1，连接CB．

∵AB⊥CD，BF⊥AD，
∴∠D+∠BAD=90°，∠ABH+∠BAD=90°，
∴∠D=∠ABH，
∵∠D=∠ABC，
∴∠ABC=∠ABH，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB=∠HEB=90°，
在△BCE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ABH}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEH}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BHE（ASA），
∴EC=EH，
（3）解：设AE=4k，则ED=3k．
∵由（2）可知△BEC≌△BHE．
∴EC=HE．
∵HC=HD，
∴DC=4k．
∴EH=k．
∵AE•EB=EC•ED，
∴4k•EB=k•3k．
∴EB=$\frac{3}{4}$k．
∴AB=4k+$\frac{3}{4}$k=$\frac{19k}{4}$．
在Rt△AEH中，AE=4k，EH=k，AH=2$\sqrt{17}$，
∴（4k）²+k²=4×17．
解得：k=2．
∴AB=$\frac{19}{2}$．
∴BF=AB×$\frac{3}{5}$=$\frac{19}{2}$×$\frac{3}{5}$=5.7．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理和相交弦定理、锐角三角函数的定义，发现AE与HE的长度关系，依据勾股定理求得k=2是解题的关键．