Question

如图，已知函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE=AC时，求CE的长；
（3）在轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案；
（3）存在；分两种情况讨论：①当P在x轴上时，作点D关于x轴的对称点D′，连接AD′交x轴于P，PA+PD最小，∵PA+PD=AD′，根据勾股定理求出即可；②当P在y轴上时，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于P，PA+PD最小，∵PA+PD=A′D，根据勾股定理求出即可．

解答： 解：（1）∵y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A（1，2），
∴k=2，
∵AC∥y轴，AC=1，
∴点C的坐标为（1，1），
∵CD∥x轴，点D在函数图象上，
∴点D的坐标为（2，1），
∴S△OCD=

1

2

×1×1=

1

2

；
（2）∵BE=

1

2

AC，
∴BE=

1

2

，
∵BE⊥CD，
∴点B的纵坐标=2-

1

2

=

3

2

，
由反比例函数y=

2

x

，
得点B的横坐标为x=2÷

3

2

=

4

3

，
∴CE=

4

3

-1=

1

3

；
（3）存在；分两种情况讨论：如图所示：
①当P在x轴上时，作点D关于x轴的对称点D′（2，1），
连接AD′交x轴于P，PA+PD最小；
∵PD′=PD，
∴PA+PD=AD′，
设直线AD′的解析式为y=kx+b，
把点A（1，2），D′（2，-1）代入得：

k+b=2 2k+b=-1

，
解得：k=-3，b=5，
∴y=-3x+5，
当y=0时，x=

5

3

，
∴P（

5

3

，0）；
②当P在y轴上时，作点A关于y轴的对称点A′（-1，2），
连接A′D交y轴于P，PA+PD最小；
∵PA=PA′，
∴PA+PD=A′D，
设直线A′D的解析式为y=ax+c，
把A′（-1，2），D（2，1）代入得：

-a+c=2 2a+c=1

，
解得：a=-

1

3

，c=

5

3

，
∴y=-

1

3

x+

5

3

，
当x=0时，y=

5

3

，
∴P（0，

5

3

）；
综上所述：点P坐标为（

5

3

，0）或（0，

5

3

）．

点评：本题考查了反比例函数k的几何意义以及最短路程问题；利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，图象上的点满足函数解析式；通过作对称点找出满足最短路程的点是解决（3）的关键．