Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-4，0）、B（0，-4）、C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形（要求PQ∥OB），直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的解析式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；
（2）过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可；
（3）根据题意设p（a，

1

2

a²+a-4），则Q（a，-a），分两种情况分别讨论即可求得．

解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
将B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=

1

2

，
则抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）（x-2）=

1

2

x²+x-4；

（2）过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=

1

2

m²+m-4，即M（m，

1

2

m²+m-4），
∴MN=|

1

2

m²+m-4|=-

1

2

m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-m）×（-

1

2

m²-m+4+4）-

1

2

×4×4
=2（-

1

2

m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
当m=-2时，S取得最大值，最大值为4；
（3）如果使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形（要求PQ∥AB），则PQ=OB，
设p（a，

1

2

a²+a-4），则Q（a，-a），如图，

①当点P在点Q上面时，则

1

2

a²+a-4-（-a）=4，
解得a=-2+2

5

或a=-2-2

5

，
∴Q（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）．
②当点Q在点P上面时，-a-（

1

2

a²+a-4）=4，
解得a=0或a=-4，
∴Q（-4，4）；
综上，有三个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，相应的点Q的坐标为（-4，4）或（-2+2

5

，2-2

5

）或（-2-2

5

，2+2

5

）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论求得结果．