Question

7．如图，抛物线y=a（x-h）²+k（a＞0）的顶点为P，直线y=m与x轴平行且与抛物线交于A、B两点，把线段AB与抛物线含顶点部分组成的图形ABP，称作“燕尾形”，顶点P到线段AB的距离称作“尾长”，AB长称作“尾宽”．
 （1）当“尾长”为8时：
①若a=2，h=k=0，抛物线y=2x²对应的“尾宽”为4；
②若a=2，h=0，k=-8，抛物线y=2x²-8对应的“尾宽”为4；
③若a=2，h=0，k=3，抛物线y=2（x-2）²+3对应的“尾宽”为4；
（2）当“尾长”与“尾宽”相等时：
①若h=k=0，抛物线y=ax²对应的“尾宽”为$\frac{4}{a}$（用含a的式子表示）；
②若h=2，k=3，抛物线y=a（x-2）²+3对应的“尾宽”为$\frac{4}{a}$（用含a的式子表示）；
③若抛物线y=ax²-4ax+c（a＞0）对应的“尾宽”为6，求a的值．
（3）我们把问题（1）③中抛物线y=2（x-2）²+3对应的燕尾形，记为“燕尾1”，相应点记为A₁、B₁、P₁，它在坐标系中的位置如图2所示，把问题（2）③中抛物线y=ax²-4ax+c（c＞0）对应的燕尾形，记为“燕尾2”，相应点记为：A₂、B₂、P₂．
试探索：随着字母c的取值变化，“燕尾1”的边界与“燕尾2”的边界存在公共点的个数情况（直接写出探索结果即可）．

Answer 1

分析 （1）将尾长等于8时，y对应的值代入解析式，求得x₁，x₂的值，然后计算出尾宽即可；
（2）设尾长为m，则尾宽为m，将尾宽为m时，y对应的值代入解析式，求得x₁，x₂的值，然后计算出尾宽，最后根据尾宽$\frac{4}{a}=6$即可求得a的值；
（3）将a=$\frac{2}{3}$代入抛物线y=ax²-4ax+c的解析式得：y=$\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+c$=$\frac{2}{3}（x-2）^{2}+c-\frac{8}{3}$，其对称轴为x=2，顶点坐标为（2，c-$\frac{8}{3}$），燕尾1的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），然后对燕尾2进行平移，根据图形找出燕尾2的顶点满足的条件列出等式或不等式，从而可探究出C取值与“燕尾1”的边界与“燕尾2”的边界存在公共点的个数的关系．

解答 解：（1）①当“尾长”为8时，抛物线y=2x²的y=8，将y=8代入抛物线的解析式得：
2x²=8，解得x₁=-2，x₂=2，
∴“尾宽”=2-（-2）=4．
②抛物线y=2x²-8的尾长为8时，y=0，
将y=0代入得：2x²-8=0，解得：x₁=-2，x₂=2，
∴“尾宽”=2-（-2）=4．
③抛物线y=2（x-2）²+3尾长为8时，y=11，
将y=11代入y=2（x-2）²+3得2（x-2）²+3=11，
解得：x₁=4，x₂=0，
故答案为：①4；②4；③4；
（2）①设尾长为m，则尾宽为m．
将y=m代入y=ax²得ax²=m，
解得：x₁=$\sqrt{\frac{m}{a}}$，x₂=$-\sqrt{\frac{m}{a}}$，
∴2$\sqrt{\frac{m}{a}}$=m，
解得：m=0（舍去），m=$\frac{4}{a}$
②设尾长为m，则尾宽为m．
将y=m+3代入y=a（x-2）²+3得：a（x-2）²+3=m+3，
解得：x₁=2+$\sqrt{\frac{m}{a}}$，x₂=2$-\sqrt{\frac{m}{a}}$，
∴2$\sqrt{\frac{m}{a}}$=m，
由①可知：m=$\frac{4}{a}$
③由①、②可知$\frac{4}{a}$=6，解得a=$\frac{2}{3}$．
故答案为：①$\frac{4}{a}$；②$\frac{4}{a}$；③$\frac{2}{3}$；
（3）将a=$\frac{2}{3}$代入抛物线y=ax²-4ax+c的解析式得：y=$\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+c$=$\frac{2}{3}（x-2）^{2}+c-\frac{8}{3}$，其对称轴为x=2，顶点坐标为（2，c-$\frac{8}{3}$），
燕尾1的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3）．
如图1，当c-$\frac{8}{3}$＜-3时，即c＜$-\frac{1}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界不存在交点；
如图2，当c-$\frac{8}{3}$=-3时，即c=$-\frac{1}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有1个交点；
如图3，当-3＜c-$\frac{8}{3}$＜3时，即$-\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{17}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有2个交点；

如图4，当c-$\frac{8}{3}$=3时，即c=$\frac{17}{3}$，燕尾1与燕尾2的边界有3个交点；
如图5，当3＜c-$\frac{8}{3}$＜5时，即：$\frac{17}{3}$＜c＜$\frac{23}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有4个交点；
如图6，当c-$\frac{8}{3}$=5时，即c=$\frac{23}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有无数个交点；

如图7，当5＜c-$\frac{8}{3}$＜11时，即：$\frac{23}{3}$＜c＜$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有2个交点；
如图8，当c-$\frac{8}{3}$=11时，即：c=$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有1个交点；
如图9，当c-$\frac{8}{3}$＞11时，即：c＞$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界没有交点．

综上所述，当c＜$-\frac{1}{3}$或c＞$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界没有交点；
当c=$-\frac{1}{3}$或c=$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有1个交点；
当$-\frac{1}{3}$＜c＜$\frac{17}{3}$或$\frac{23}{3}$＜c＜$\frac{41}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有2个交点；
当c=$\frac{17}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有3个交点；
当$\frac{17}{3}$＜c＜$\frac{23}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有4个交点；
当c=$\frac{23}{3}$时，燕尾1与燕尾2的边界有无数个交点．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们读懂题意明确尾宽和尾长的定义，根据题意画出图形，结合图形找出燕尾2顶点的纵坐标的大小与交点个数的关系是解题的关键．