Question

18．已知：矩形ABCD中，M为BC边上一点，AB=10，BC=24，∠BAM=45°，如图1，正方形EFGH的顶点E和点B重合，点F、G、H分别在边AB、AM、BC上．如图2，P为对角线AC上一动点，正方形EFGH从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C匀速移动；同时点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A匀速移动．当点F到达线段AC上时，正方形EFGH和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点F落在线段AM上和点G落在线段AC上时，分别求出对应t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形EFGH与△AMC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△DPG是以DG为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得FG=5，再根据时间=路程÷速度，列出算式求出点F落在线段AM上时t的值；根据三角形中位线的性质以及线段的和差关系得到$\frac{1}{2}$MC=7，再根据时间=路程÷速度，列出算式求出点G落在线段AC上时t的值；
（2）分四种情况：①当0＜t≤5时；②当5＜t≤7时；③当7＜t≤10时；④当10＜t≤12时；进行讨论可得S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）先根据勾股定理得到DG²=t²-38t+386，DP²=t²-$\frac{100}{13}$t+100，PG²=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386．再分两种情况：①当DG=DP时，△DPG为等腰三角形；②当DG=PG时，△DPG为等腰三角形；进行讨论列出方程可得t的值．

解答 解：（1）∵AB=10，∠BAM=45°，四边形EFGH为正方形，
∴BM=10，∠FAG=∠FGA=45°，
∴AF=FG=EF=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴F为AB的中点，G为AM的中点，
∴t=5÷1=5秒，
又∵当G落在AC上时，所走路程为△AMC的中位线的长．
又∵MC=14，
∴$\frac{1}{2}$MC=7，
∴t=7÷1=7秒；               

（2）如图所示：

①当0＜t≤5时，S=$\frac{1}{2}$t²；
②当5＜t≤7时，S=5²-$\frac{1}{2}$（10-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25；
③当7＜t≤10时，S=5²-$\frac{1}{2}$（10-t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{12}$（t-7）²=-$\frac{17}{24}$t²+$\frac{155}{12}$t-$\frac{845}{24}$；
④当10＜t≤12时，S=5²-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{12}$（t-7）²=-$\frac{5}{24}$t²+$\frac{35}{12}$t+$\frac{355}{24}$；

（3）如图：

∵DG²=（24-5-t）²+5²=t²-38t+386，
DP²=（10-$\frac{5}{13}$t）²+（$\frac{12}{13}$t）²=t²-$\frac{100}{13}$t+100，
PG²=（5-$\frac{5}{13}$t）²+（19-$\frac{25}{13}$t）²=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386．
①当DG=DP时，△DPG为等腰三角形，
∴t²-38t+386=t²-$\frac{100}{13}$t+100，
解得t=$\frac{1859}{197}$，
∵$\frac{1859}{197}$＜12，
∴存在点P，使△DPG为等腰三角形
②当DG=PG时，△DPG为等腰三角形，
∴t²-38t+386=$\frac{650}{169}$t²-$\frac{1000}{13}$t+386，
∴$\frac{481}{169}$t²-$\frac{506}{13}$t=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{506}{37}$＞12（舍去）．
综上，存在点P，当t=$\frac{1859}{197}$秒时，△DPG是以DG为腰的等腰三角形．

点评 考查了四边形综合题，涉及的知识点有：正方形的性质，等腰直角三角形的性质，时间=路程÷速度，勾股定理，函数思想，方程思想，以及分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．