Question

16．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB、AD．
（1）求证：OD平分∠AOB；
（2）若OA=2cm，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由于PA是⊙O的切线，且BC⊥PA，所以OA∥BC，由∠AOB=120°即可求出∠OBC=60°，从而可知∠AOD=∠BOD=60°
（2）由于点O和点A到BD的距离相等，△ABD的面积与△OBD的面积相同，从而可知阴影部分面积为扇形OBD的面积

解答 解：（1）∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵BC⊥PA，
∴∠OAP=∠BCA=90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBC=180°，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=∠BOD=60°
∴OD平分∠AOB，

（2）∵OA∥BC，
∴点O和点A到BD的距离相等，
∴S_△ABD=S_△OBD，
∴S_阴影=S_扇形OBD，
∴S_阴影=$\frac{60π×4}{360}$=$\frac{2}{3}$π（cm²）

点评 本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质与判定，等边三角形的性质，切线的性质等知识，综合程度较高．