题目内容
1．已知，在平面直角坐标系中，A（m-2，a），B（m+2，b），且有理数a，b满足a+2+$\sqrt{2}$b=4$\sqrt{2}$+b．（1）试求出a，b的值，并直接写出以AB为对角线的平行四边形AOBC的第四顶点C的纵坐标；
（2）若△AOB的面积为9，求m的值；
（3）若直线AB与x轴交于点D，当线段AB平移时，△ABC的面积：△AOD的面积是否是定值？若是定值，请求出该值，并说明理由；若不是，请指出它的范围．
分析 （1）首先将原式变形为a+2-b+（b-4）$\sqrt{2}$=0，然后依据a，b是有理数可求得a、b的值，然后依据两点间的距离公式可求得点C的纵坐标；
（2）过点A作AC∥x轴，交OB与点C，作BD⊥AC，垂足为D．先求得点C的坐标，然后再求得AC的长，最后依据△AOB的面积为9列方程组求解即可．
（3）作AF∥x轴，BE∥x轴．将△ABC的面积：△AOD的面积的比值可转化为AB：AD的比值，然后依据平行线分线段成比例定理可得到AB：AD=FE：OF=1：1，故此可得到问题的答案．
解答 解：（1）∵a+2+$\sqrt{2}$b=4$\sqrt{2}$+b，
∴a+2-b+（b-4）$\sqrt{2}$=0．
∵a，b是有理数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{a+2=b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴A（m-2，2），B（m+2，4）．
设点C的纵坐标为a，依据两点间的距离公式可得到：$\frac{a+0}{2}$=$\frac{2+4}{2}$，解得：a=6．
∴点C的纵坐标为6．
（2）如图1所示：过点A作AC∥x轴，作BD⊥AC，垂足为D．
∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2．
设直线BC的解析式为y=kx，将点B的坐标代入得：（m+2）k=4，解得k=$\frac{4}{m+2}$，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{4}{m+2}$x．
将y=2代入得：$\frac{4}{m+2}$x=2，解得：x=$\frac{m+1}{2}$．
∴C（$\frac{m+1}{2}$，2）．
∴AC=$\frac{m+1}{2}$-（m-2）=$\frac{6-m}{2}$．
∵△AOB的面积为9，
∴$\frac{1}{2}$×4×|$\frac{6-m}{2}$|=9，解得m=-3或m=15．
（3）是定值．
如图2所示：作AF∥x轴，BE∥x轴．
∵四边形OACB为平行四边形，
∴△ABC的面积=△ABO的面积．
∴△ABC的面积：△AOD的面积=△ABO的面积：△AOD的面积=AB：AD．
∵BE∥AF∥OD，
∴AB：AD=FE：OF=1：1．
∴△ABC的面积：△AOD的面积=1：1．
点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积公式、待定系数法求正比例函数的解析式，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=$\frac{k}{x}$（x＜0）分别交于点C（-1，2）、D（a，1）．
如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB、AD．