Question

定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．
例如：y=

1

x-2

+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=

1

x

的图象，则y=

1

x-2

+1是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm²，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y=

ax+k

x-6

的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为

 

；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式

 

．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据新矩形的面积为8cm²，则长乘以宽等于面积，即可得到一个关于x，y的方程，即可变形成函数的形式，进行判断；
（2）把B和D的坐标代入y=

ax+k

x-6

即可列方程求得a、k的值，则函数解析式即可求解；
（3）由反比例函数的中心对称性，四边形PEQB为平行四边形，设P₁（x₀，y₀），根据S_△OP1E=S_{四边形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．即可列方程求解．

解答：解：（1）（x+2）（y+3）=8，
∴y=

8

x+2

-3，向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到y=

8

x

．
∴y=

8

x+2

-3是“反比例平移函数”．
（2）把B和D的坐标代入y=

ax+k

x-6

得：

9a+k 9-6 =3 9 2 a+k 9 2 -6 =0

，
解得：

a=2 k=-9

，
则“反比例平移函数”的表达式为y=

2x-9

x-6

．
故变换后的反比例函数表达式为y=

3

x

．
（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比
例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．
∵四边形PEQB的面积为16，∴S_△PFE=4，
∵B（9，3），F（6，2）．
y=

2x-9

x-6

是y=

3

x

的“反比例平移函数”，
∴S_△PFE=S_△POE=4，点E的坐标是：（3，1）
过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．
S_△OP1E=S_{四边形ONMC}-S_△OCP1-S_△MP1E-S_△ONE．
设P₁（x₀，y₀），
∴

x0y0=3 3y0- 1 2 x0y0- 1 2 ×1×3- 1 2 (y0-1)(3-x0)=4

即

x0y0=3 3y0-x0=8

                             
∴

x0=1 y0=3

∴P₁（1，3），
∴点P的坐标为（7，5）．
当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，

7

3

）．

点评：本题考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求函数的解析式，注意到本题中的反比例平移函数与反比例函数的关系是关键．