Question

17．已知：在平面直角坐标系中有两点A（-1，1），B（3，2），在x轴上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则点C坐标为（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（-3+2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）；．

Answer 1

分析 分三种情况：
①AC=BC时，点C在AB的垂直平分线CM上，由直线CM的解析式为y=-4x+$\frac{11}{2}$，得出点C的坐标为（$\frac{11}{8}$，0）；
②当BC=AB=$\sqrt{17}$时，作BE⊥x轴于E，则CE=2$\sqrt{2}$，即可得出点C的坐标；
③当AC=AB=$\sqrt{17}$时，作AD⊥x轴于，则CD=4，即可得出点C的坐标；即可得出结果．

解答 解：分三种情况：
①AC=BC时，点C在AB的垂直平分线CM上，
如图1所示：
直线AB的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
那么直线CM的解析式为y=-4x+$\frac{11}{2}$，
当y=0时，x=$\frac{11}{8}$，
∴点C的坐标为（$\frac{11}{8}$，0）；
②当BC=AB=$\sqrt{17}$时，作BE⊥x轴于E，如图2所示：
则CE=2$\sqrt{2}$，
∴点C的坐标为（3+2$\sqrt{2}$，0）或（3-2$\sqrt{2}$，0）；
③当AC=AB=$\sqrt{17}$时，作AD⊥x轴于D，
如图3所示：
则CD=4，
∴点C的坐标为（3，0）或（-5，0）；
综上所述：点C的坐标为（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（3-2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）；
故答案为：（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（-3+2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、勾股定理、直线解析式的求法等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．