Question

3．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：$\sqrt{3}$，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=26米，与亭子距离CE=18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
（1）求休息亭的铅直高度；     
（2）求楼房AB的高．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥BC的延长线于点F．在Rt△CEF中，求出CF=$\sqrt{3}$EF，然后根据勾股定理解答；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB=AH+BH，求出AB的值．

解答 解：（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×18=9（米）．
答：休息亭的铅直高度为9米；

（2）BH=EF=9米，CF=9$\sqrt{3}$米，
HE=BF=BC+CF=（26+9$\sqrt{3}$）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（26+9$\sqrt{3}$）米，
∴AB=AH+HB=（35+9$\sqrt{3}$）米．
答：楼房AB的高为（35+9$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．