Question

18．阅读下面问题：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{\sqrt{5}-2}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2．
试求：
（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．  
（2）利用上面所揭示的规律计算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}$+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）分子分母同时乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，求解即可，
（2）先化简，再找出规律求解即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．
故答案为：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．  
（2）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}$+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$，
=$\sqrt{2015}$-1．

点评 本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找出式子的规律．