Question

3．直线y=-x+2与X轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB．
（1）求AC的解析式；
（2）若在OA的延长线上取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的数最关系；并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，作PM⊥QC于M，求证：$\frac{MQ-AC}{PM}$的值是定值，并求出这一定值．

Answer 1

分析 （1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法可求得答案；
（2）结论：PB=PQ．由△ABG∽△PQG，推出$\frac{BG}{GQ}$=$\frac{AG}{PG}$，推出$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GQ}{PG}$，因为∠BGQ=∠AGP，推出△BGQ∽△AGP，推出∠QBG=∠GAP=45°，即可证得结论；
（3）作PG⊥PA交PA的延长线于G，首先证明四边形AMPG是正方形，再证明△PMQ≌△PGB，推出MQ=BG，再代入计算即可求得$\frac{MQ-AC}{PM}$=1．

解答 解：
（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，令x=0可求得y=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∵OC=OB，
∴点C坐标（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x-2；
（2）如图1中，结论：PB=PQ．

证明如下
：连接BQ，AQ与PB交于点G．
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CAB=∠BAQ=90°，
∵PB⊥PQ，
∴∠BAG=∠QPG=90°，
∵∠AGB=∠PGQ，
∴△ABG∽△PQG，
∴$\frac{BG}{GQ}$=$\frac{AG}{PG}$，
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GQ}{PG}$，
∵∠BGQ=∠AGP，
∴△BGQ∽△AGP，
∴∠QBG=∠GAP，
∵∠OAC=∠PAG=45°，
∴∠PBQ=∠PAG=45°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ；
（3）证明：
如图2，作PG⊥BA交BA的延长线于G．

由（2）可知，∠PAM=∠PAG=45°，
∵PM⊥AQ，PG⊥AG，
∴PM=PG，
∵∠G=∠GAM=∠PMA=90°，
∴四边形AMPG是矩形，
∵PM=PG，
∴四边形AMPG是正方形，
∴AG=PM，
在△PMQ和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠PBG}\\{∠PMQ=∠G}\\{PM=PG}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△PGB（AAS），
∴MQ=BG，
∵AB=AC，
∴$\frac{MQ-AC}{PM}$=$\frac{BG-AB}{PM}$=$\frac{AG}{PM}$=1．

点评 本题为一次函数综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形和全等三角形．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．