Question

15．将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C、B两点分别在x轴和y轴上，∠ABO=∠D=90°，OB=OC，AB=3．
（1）求边OC的长．
（2）将直角三角板OAB绕点顺时针方向旋转，使OA落在x轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB，然后利用OC=OB得到OC的长；
（2）先计算出OC的长，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOA′-S_△OCD进行即可．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴OC=OB=3$\sqrt{3}$，
（2）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴AB=2AB=6，
∵△ODC为等腰直角三角形，
∴OD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴S_阴影部分=S_扇形AOA′-S_△OCD=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{6}}{2}$•$\frac{3\sqrt{6}}{2}$=6π-$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性质．